Matris ve Determinant

A. MATRİSİN TANIMI

şeklinde, bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna m ´ n türünde
(m tane satır ve n tane sütun) bir matris denir.
Matrisler büyük harfle gösterilir. Tablodaki yatay sıralara satır, düşey sıralara sütun adı verilir.

elemanları, A matrisinin 1. satırını oluşturmaktadır.

elemanları, A matrisinin 3. sütununu oluşturmaktadır.
Burada a_ij genel terimi gösterir. i, satır numarası ve j, sütun numarasıdır.
Bu matrisin m kadar satırı, n kadar sütunu vardır.

B. MATRİS ÇEŞİTLERİ
1. Sıfır Matrisi
Bütün elemanları sıfır olan matrise sıfır matrisi denir.

2. Kare Matrisi

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrise kare matris denir.
A matrisi (4 ´ 4 boyutlu) 4 satırlı ve 4 sütunlu bir kare matristir.

3. Birim Matris

Bütün köşegen elemanları 1 ve diğer bütün elemanları sıfır olan kare matrislere birim matris denir ve birim matris I harfi ile gösterilir. Yandaki matris 4 ´ 4 boyutlu birim matristir.

C. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ
Aynı türden iki matrisin, bütün aynı indisli terimleri eşit ise, bu matrisler eşittir. Bu ifadenin tersi de doğrudur. Yani, eşit iki matrisin, aynı indisli bütün terimleri eşittir.

D. MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)
Bir matrisin devriği (transpozu) satırların sütun, sütunların satır haline getirilmesiyle elde edilen matristir.
Bir A matrisinin transpozu A^T ya da A^d biçimlerinden biri ile gösterilebilir.


E. MATRİSİN REEL SAYI İLE ÇARPIMI
Bir matris c gibi bir sayı ile çarpılınca matrisin bütün elemanları c ile çarpılır.


F. MATRİSLERİN TOPLAMI
Aynı türden matrisler toplanır. Bunun için, aynı indisli terimler toplanır.


G. MATRİSLERİN FARKI
Aynı türden matrisler çıkarılır. Bunun için, aynı indisli terimler çıkarılır.

Özellik

1. A + B = B + A (Değişme özelliği vardır.) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (Birleşme özelliği vardır.) 3. A + O = O + A = A (Sıfır matrisi toplamaya göre birim (etkisiz) elemandır.) 4. A + (–A) = O (–A matrisi A matrisinin toplamaya göre tersidir.) 5. (A + B)T = AT + BT 6. (A – B)T = AT – BT 7. k × (A + B) = k × A + k × B 8. k × (A – B) = k × A – k × B 9. (k + p) × A = k × A + p × A 10. k × (p × A) = (k × p) × A

H. İKİ MATRİSİN ÇARPIMI
A ve B matrislerinin çarpılabilmesi için A matrisinin sütun sayısı,
B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır.
m ´ n türünde A matrisi ile n ´ p türünde B matrisinin çarpımı m ´ p türünde olur.
Çarpma işlemi birinci matrisin satırları ile ikinci matrisin sütunları çarpılıp toplanarak yapılır.

Özellik

1. A × B ¹ B × A (Değişme özelliği yoktur. Ancak bazı özel durumlarda eşitlik olabilir.) A × I = I × A Am × An = Am + n A–1 × A = A × A–1 2. A × (B × C) = (A × B) × C (Birleşme özelliği vardır.) 3. A × (B + C) = A × B + A × C (B + C) × A = B × A + C × A Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır. 4. A × B = O ise A = O veya B = O olması gerekmez. 5. A × I = I × A = A (I matrisi çarpmaya göre etkisiz elemandır.) 6. A × B = B ise A = I olması gerekmez. 7. (A × B)T = BT × AT (A × B × C)T = CT × BT × AT

I. KARE MATRİSİN KUVVETİ
A bir kare matrisi I birim matris ve m, n pozitif tam sayı olmak üzere, matrisin kuvveti aşağıdaki biçimde ifade edilir.

Ayrıca,

olur.
Birim matrisin bütün kuvvetleri yine birim matristir.

Kural

2 × 2 boyutundaki bazı özel matrislerin büyük kuvvetleri karşımıza çıkabilir. Bu özel durumların başlıcaları şunlardır:

J. MATRİSİN DETERMİNANTI
Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.
A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.
|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.

Kural

Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.

1. Sarrus Kuralı
A = [a_ij]_3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.

3 ´ 3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:
1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.
2. Köşegeni oluşturan a₁₁, a₂₂, a₃₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.
3. Köşegenin hemen altındaki a₂₁, a₃₂, a₁₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.
4. Aynı yaklaşımla a₃₁, a₁₂, a₂₃ çarpılır; çarpım sağa yazılır.
5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T₁ olsun
6. Diğer köşegeni oluşturan a₁₃, a₂₂, a₃₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.
7. Diğer köşegenin hemen altındaki a₂₃, a₃₂, a₁₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.
8. Aynı yaklaşımla a₃₃, a₁₂, a₂₁ çarpılır; çarpım sola yazılır.
9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T₂ olsun,

10. A matrisinin determinantı: detA = T₁ – T₂ dir.

2. İşaretli Minör (Kofaktör)
Bir kare matriste a_ij elemanının minörü M_ij olsun.
a_ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):

Kural

matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. i. satıra göre determinant: j. sütuna göre determinant:

3. Determinantın Özellikleri
Özellik

Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır. Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir. Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir. Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir. det(A × B) = detA × detB Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir. detAn = (detA)n Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir. A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı, A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir. Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez. Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.

K. EK MATRİS (ADJOİNT MATRİS)
Bir matrisin elemanları yerine, o elemanların işaretli minörlerinin yazılıp transpozu alınarak elde edilen matrise ek matris denir ve Ek(A) biçiminde gösterilir.


L. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
a = [A_ij]_m×m biçimindeki kare matrislerin, çarpmaya göre tersini A^–1 biçiminde gösteririz.
Determinantı sıfırdan farklı matrislerin tersi vardır.

Kural

Özellik