maNga
Admin
Mesaj Sayısı : 104
Kayıt tarihi : 10/10/10
Yaş : 27
Nerden : Denizli
 | Konu: Diziler  Paz Ekim 31, 2010 8:08 pm | |
|
A. TANIM
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.
fonksiyonununda,
olduğuna göre,
biçiminde yazılabilir.
f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,
biçiminde veya kısaca (an) biçiminde gösterilir.
a1, dizinin 1. terimi (ilk terimi);
a2, dizinin 2. terimi;
a3, dizinin 3. terimi;
...
an, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.
Uyarı <table id="table1" border="5" width="89%" height="154"> <tr> <td width="73%">
1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.</td></tr></table>
B. SONLU DİZİ
Tanım kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.
C. SABİT DİZİ
Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.
D. EŞİT DİZİ
Her n pozitif tam sayısı için,
an = bn
ise, (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir.
E. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER
(an) ve (bn) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,
F. MONOTON DİZİLER
Genel terimi an olan bir dizide eğer her  için,
Uyarı <table id="table2" border="5" width="89%" height="374"> <tr> <td width="73%">
 dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:
1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.
Bu durumda,
a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.
b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.
c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir.
2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.</td></tr></table>
G. ALT DİZİ
Bir (an) dizisi verilmiş olsun.
(kn) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere,  dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir ve  biçiminde gösterilir.
H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI
1. Komşuluk
a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,
açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.
Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,
olur.
T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Uyarı <table id="table3" border="5" width="89%" height="226"> <tr> <td width="73%">
1. (an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,
eşitsizliğini sağlar.
2. (an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri,
eşitsizliğini sağlar.</td></tr></table>
I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER
(an) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.
Her e pozitif reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (an) dizisi a ya yakınsıyor denir.
(an) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine yakınsak dizi denir.
Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.
J. DİZİLERİN LİMİTİ
1. Limitin Tanımı
(an) bir reel sayı dizisi olsun.
(an) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin limiti denir.
lim(an) = a ya da (an) ® a
biçiminde gösterilir.
Kural <table id="table4" border="5" width="89%" height="250"> <tr> <td width="73%">
1. (an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.
2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir.
3.  olmak üzere, (an) = (c) ise,
lim(an) = lim(c) = c dir.
(Her sabit dizi yakınsaktır.)</td></tr></table>
2. Limitle İlgili Özellikler
Kural <table id="table5" border="5" width="89%" height="350"> <tr> <td width="73%">
(an) ve (bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
 </td></tr></table>
K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ
Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen
bol]¥, +¥]
aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.
1. Iraksak Diziler
Kural <table id="table6" border="5" width="92%" height="220"> <tr> <td width="73%">
1. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi (+¥) a ıraksar denir.
2. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi (–¥) a ıraksar denir.
3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.</td></tr></table>
2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler
Kural <table id="table7" border="5" width="89%" height="253"> <tr> <td width="73%">
Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen,
ifadeleri belirsizdir.</td></tr></table>
Kural <table id="table8" border="5" width="89%" height="199"> <tr> <td width="73%">
 </td></tr></table>
Kural <table id="table9" border="5" width="89%" height="371"> <tr> <td width="73%">
 </td></tr></table>
Kural <table id="table10" border="5" width="89%" height="135"> <tr> <td width="73%">
(an) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,
 </td></tr></table>
Kural <table id="table11" border="5" width="89%" height="195"> <tr> <td width="73%">
(an) bir dizi olmak üzere,
 </td></tr></table>
Uyarı <table id="table12" border="5" width="89%" height="217"> <tr> <td width="73%">
(1n) sabit dizisi ile  dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.
 </td></tr></table>
Uyarı <table id="table13" border="5" width="89%" height="115"> <tr> <td width="73%">
Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.
 </td></tr></table>
Kural <table id="table14" border="5" width="89%" height="117"> <tr> <td width="73%">
 </td></tr></table>
Kural <table id="table15" border="5" width="89%" height="126"> <tr> <td width="73%">
(an) pozitif terimli bir dizi olsun.
 </td></tr></table>
3. Belirsizlik Durumları
a.  Belirsizliği
Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.
b. 0 . ¥ Belirsizliği
Bu tür belirsizlikler,  belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.
c. ¥ – ¥ Belirsizliği
¥ – ¥ tipindeki belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.
Kural <table id="table16" border="5" width="89%" height="259"> <tr> <td width="73%">
Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası  ifadesiyle genişletilir.</td></tr></table>
Uyarı <table id="table17" border="5" width="89%" height="99"> <tr> <td width="73%">
 dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.
 dizisinde belirsizlik söz konusu
değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.
(+¥) + (+¥) = +¥
olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.</td></tr></table>
Kural <table id="table18" border="5" width="89%" height="165"> <tr> <td width="73%">
a > 0 olmak üzere,
olur.</td></tr></table>
L. SINIRLI DİZİLER
1. Üst Sınır
Her  için, an £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) dizisine üstten sınırlıdır denir.
M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (an) dizisinin üst sınırıdır.
Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.
(an) dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde gösterilir.
2. Alt Sınır
Her için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an) dizisine alttan sınırlıdır denir.
m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin alt sınırıdır.
Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.
(an) dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.
3. Sınırlı Diziler
Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.
Uyarı <table id="table19" border="5" width="89%" height="236"> <tr> <td width="73%">
1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.
2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.
3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.
4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.</td></tr></table> | | |
| |
|
