Parabol

A. TANIM
olmak üzere, tanımlanan
f(x) = ax² + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

kümesinin elemanları olan ikililere, analitik düzlemde karşılık gelen noktalara f fonksiyonunun grafiği denir.
İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların grafiklerinin gösterdiği eğriye parabol denir.

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği (parabol), yandaki gibi kolları yukarı doğru olan ya da kolları aşağı doğru olan bir eğridir.

Kural

fonksiyonunun grafiğinin (parabolün); y eksenini kestiği noktanın; apsisi 0 (sıfır), ordinatı f(0) = c dir. x eksenini kestiği noktaların (varsa) ordinatları 0, apsisleri f(x) = 0 denkleminin kökleridir.

Kural

denkleminde, D = b2 – 4ac olmak üzere, D > 0 ise, parabol x eksenini farklı iki noktada keser. D < 0 ise, parabol x eksenini kesmez. D = 0 ise, parabol x eksenine teğettir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

Şekildeki parabollerin tepe noktaları T(r, k) dir.
Parabol x = r doğrusuna göre simetrik olan bir şekildir. Bunun için, parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri olan x₁ ile x₂ nin aritmetik ortalaması r ye eşittir. Bu durumu kuralla ifade edebiliriz.

Kural

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise,

Sonuç

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) tepe noktası T(r, k) ise, bu parabolün simetri ekseni x = r doğrusudur.

Uyarı

f(x) = ax2 + bx + c ifadesi ikinci dereceden fonksiyonunun en genel halidir. Bu fonksiyon düzenlenerek f(x) = a(x – r)2 + k hâline dönüştürülürse, tepe noktasının T(r, k) olduğu görülür.

Kural

fonksiyonunun grafiğinde (parabolde), a > 0 ise kollar yukarıya doğru, a < 0 ise kollar aşağıya doğrudur. Buna göre, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir: Parabolün en alt ya da en üst noktasına tepe noktası denir.

C. PARABOLÜN GRAFİĞİ
f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır:
1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur.
2) Parabolün tepe noktası bulunur.
3) Parabolün kollarının aşağı veya yukarı olma durumuna göre, kesim noktaları ve tepe noktası koordinat düzleminde gösterilip, bu noktalardan geçecek biçimde grafik çizilir.

Kural

A) olmak üzere, parabolün tepe noktası T(r, k) olsun. a < 0 ise, y alabileceği en büyük değer k dir. a > 0 ise, y nin alabileceği en küçük değer k dir. B) Parabolün tanım aralığı yani gerçel sayılar kümesi değil de [a, b] biçiminde sınırlı bir gerçel sayı aralığı ise fonksiyonun en büyük ya da en küçük elemanını bulmak için ya şekil çizerek yorum yaparız. Ya da aşağıdaki işlemler yapılır: f(x) in tepe noktasının ordinatı, yani k bulunur. f(a) ile f(b) hesaplanır. a. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında ise; k, f(a), f(b) sayılarının, en küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; en büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır. b. Tepe noktasının apsisi [a, b] aralığında değil ise; f(a), f(b) sayılarının, küçük olanı f(x) in en küçük elemanı; büyük olanı da f(x) in en büyük elemanıdır.

D. PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
Bir parabolün denklemini tek türlü yazabilmek için, üzerindeki farklı üç noktanın bilinmesi gerekir.
(a, b), (m, n) ve (k, t) noktaları y = f(x) parabolü üzerinde ise;
b = f(a), n = f(m), t = f(k) eşitlikleri kullanılarak parabolün denklemi bulunur.

Kural

x eksenini x1 ve x2 noktalarında kesen parabolün denklemi, f(x) = a(x – x1)(x – x2) dir.

Kural

Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi, y = a(x – r)2 + k dir.

E. EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİNİN GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ
Bir eşitsizliği sağlayan tüm noktaların koordinat düzleminde taranmasıyla, verilen eşitsizliğin grafiği çizilmiş olur.

kümesinin analitik düzlemde gösterimi:


kümesinin analitik düzlemde gösterimi:


F. İKİ EĞRİNİN BİRLİKTE İNCELENMESİ
y = f(x) ile y = g(x) eğrisinin birbirine göre üç farklı durumu vardır.
f(x) = g(x) denkleminin, tek katlı köklerinde eğriler birbirini keser; çift katlı köklerinde birbirine teğettir. Eğer f(x) = g(x) denkleminin reel kökü yoksa, eğriler kesişmez.
Özel olarak,
f(x) = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrunun denklemlerinin ortak çözümünde elde edilen,
ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b – m)x + c – n = 0
denkleminin diskriminantı D = (b – m)² – 4a(c – n) olsun.
D > 0 ise parabol ile doğru iki farklı noktada kesişir.
D < 0 ise parabol ile doğru kesişmez.
D = 0 ise doğru parabole teğettir.