Çarpanlara Ayırma

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.

B. ÖZDEŞLİKLER
1. İki Kare Farkı - Toplamı
1) a² – b² = (a – b)(a + b)
2) a² + b² = (a + b)² – 2ab
3) a² + b² = (a – b)² + 2ab

2. İki Küp Farkı - Toplamı
1) a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b² )
2) a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b² )
3) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)
4) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı
1) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ – yⁿ = (x – y)(x^{n – 1} + x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² + ... + xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

2) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^{n – 1} – x^{n – 2}y + x^{n – 3} y² – ... – xy^{n – 2} + y^{n – 1}) dir.

4. Tam Kare İfadeler
1) (a + b)² = a² + 2ab + b²
2) (a – b)² = a² – 2ab + b²
3) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)
4) (a + b – c)² = a² + b² + c² + 2(ab – ac – bc)

n bir tam sayı ve a ¹ b olmak üzere, • (a – b)2n = (b – a)2n • (a – b)2n – 1 = –(b – a)2n – 1 dir.

• (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

5. (a ± b)ⁿ nin Açılımı
Pascal Üçgeni

(a + b)ⁿ açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak kat sayılar belirlenir.
(a – b)ⁿ yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (–) işareti konulur.

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 • (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4 • (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

• a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) • a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2) • a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 – 2ab + 2b2)

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)

C. ax² + bx + c BİÇİMİNDEKİ ÜÇ TERİMLİNİN ÇARPANLARA AYRILMASI
ax² + bx + c ifadesini çarpanlarına ayırırken birkaç yöntem kullanılır. Biz burada ikisini vereceğiz. En iyi öğrendiğiniz yöntemi daima kullanarak pratiklik sağlayınız.

1. YÖNTEM
1. a = 1 için,
b = m + n ve c = m × n olmak üzere,

2. a ¹ 1 İken
m × n = a, mp + qn = b ve c = q × p ise

ax² + bx + c = (mx + q) × (nx + p) dir.

2. YÖNTEM
Çarpımı a × c yi,
toplamı b yi veren iki sayı bulunur.
Bulunan sayılar p ve r olsun.
Bu durumda,

daki ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.