Kümeler

Konu: Kümeler Paz Ekim 31, 2010 7:59 pm

A. TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

3. Şema Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir. <blockquote>
Kümeler 14_Kum1

</blockquote>

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir. <table id="table1" border="5" width="89%" height="75"> <tr> <td width="73%">
Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.</td></tr></table>

D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir. <table id="table2" border="5" width="89%" height="76"> <tr> <td width="73%">
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.</td></tr></table>

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1. Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özelikleri
i) Her küme kendisinin alt kümesidir.
A Ì A
ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Æ Ì A
iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
ıv) (A Ì B ve B Ì C) ise, A Ì C dir.
v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2ⁿ ve özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ – 1 dir.
<table id="table3" border="0" width="87%"> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin,
• alt kümelerinden 2^n–1 tanesinde a bulunmaz.
• alt kümelerinden 2^n–1 tanesinde a bulunur.</td></tr></table>
<table id="table4" border="5" width="89%" height="161"> <tr> <td valign="top" width="73%">
n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı,
Kümeler 14_Kum2

dir.</td></tr></table>
<table id="table5" border="5" width="89%" height="99"> <tr> <td width="73%">
n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir.
Kümeler 14_Kum3

</td></tr></table>
<table id="table6" border="5" width="89%" height="145"> <tr> <td width="73%">
n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir.
Kümeler 14_Kum4

</td></tr></table>
<table id="table7" border="5" width="89%" height="163"> <tr> <td width="73%">
n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir.
Kümeler 14_Kum5

</td></tr></table>
<table id="table8" border="5" width="89%" height="142"> <tr> <td width="73%">
n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2ⁿ olduğu için,
Kümeler 14_Kum6

</td></tr></table>

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.
Kümeler 14_Kum7

<table id="table9" border="0" width="68%"> <tr> <td width="41%" height="30">
Kümeler 14_Kum8

</td> <td width="47%" height="30">
F Ì E ise, E È F = E dir.
E É F ise, E È F = E dir.</td></tr></table>

2. Birleşim İşleminin Özelikleri
a) A È Æ = A
b) A È A = A
c) A È B = B È A
d) A È (B È C) = (A È B) È C
e) A Ì B ise, A È B = B
f) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.
Kümeler 14_Kum9

<table id="table10" border="0" width="67%"> <tr> <td width="42%" height="30">
Kümeler 14_Kum10

</td> <td width="49%" height="30">
F Ì E ise, E Ç F = F dir.
E É F ise, E Ç F = F dir. </td></tr></table>

4. Kesişim İşleminin Özelikleri
a) A Ç Æ = Æ
b) A Ç A = A
c) A Ç B = B Ç A
d) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
e) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
f) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir. <table id="table11" border="0" width="82%"> <tr> <td width="41%" height="30">
Kümeler 14_Kum11

</td> <td width="42%" height="30">
E Ç A = A dır.
E È A = E dir.
A Ì E dir.
B Ì E dir. </td></tr></table>

H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve Kümeler 14_Kum12

ya da A' ile gösterilir.
A' = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özelikleri

Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
Buna göre, (A')' = A olur.
Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Buna göre, E' = Æ olur.
Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Buna göre, Æ' = E olur.
Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Buna göre,
s(A) + s(A') = s(E) olur.
A Ì B ise, B' Ì A' dir.
B' Ì A' ise, A Ì B dir.
E, evrensel küme olmak üzere, A È A' = E dir.
A Ç A' = Æ dir.
(A È B)' = A' Ç B'
(A Ç B)' = A' È B'
E, evrensel küme olmak üzere, E È A' = E dir.
E, evrensel küme olmak üzere, E Ç A' = A' dir.

I. KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2ⁿ dir.

J. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.
Kümeler 14_Kum13

Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,
i) E – A = A'
ii) A – B = A Ç B'
iii) (A – B)' = A' È B dir.
iv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)
– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

<table id="table12" border="0" width="85%"> <tr> <td width="44%" height="30">
Kümeler 14_Kum14

</td> <td width="52%" height="30">
Şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir.</td></tr></table>

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c
Sadece tenis oynayanların sayısı:
s(T – V) = a
Tenis oynamayanların sayısı:
s(T') = c + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:
Kümeler 14_Kum15

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:
Kümeler 14_Kum16

<table id="table13" border="5" width="89%" height="99"> <tr> <td width="73%">
Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur. <table id="table14" border="0" width="100%"> <tr> <td valign="top" width="38%" height="30">
Kümeler 14_Kum17

</td> <td width="60%" height="30">
Apartmandakilerin kümesi K, A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, C gazetesini alanların kümesi C olmak üzere, yandaki şemada x, y, z, t bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir.</td></tr></table></td></tr></table>

» Kümeler Konu Anlatımı