Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı

Konu: Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı Paz Ekim 31, 2010 7:59 pm

A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. <table id="table1" border="5" width="89%" height="90"> <tr> <td width="73%">
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.</td></tr></table>

B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.
A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir. <table id="table2" border="5" width="89%" height="53"> <tr> <td width="73%">
A ¹ B ise, A ´ B ¹ B ´ A dır.</td></tr></table>

C. KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELİKLERİ

1) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A ´ B) = s(B ´ A) = m × n dir.
A ´ (B ´ C) = (A ´ B) ´ C
A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)
(B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)
A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)
(B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)
A ´ Æ = Æ ´ A = Æ

D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A ´ B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b ile gösterilir.
b Ì A ´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} dir. <table id="table3" border="0" width="87%"> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2^m×ntane bağıntı tanımlanabilir.</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">Ü</td> <td width="90%" height="30">
A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">Ü</td> <td width="90%" height="30">
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m × n) bağıntı sayısı
Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı 15_Kar2

</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">Ü</td> <td width="90%" height="30">
b Ì A ´ B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} bağıntısının tersi
b^–1 Ì B ´ A dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b^–1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.</td></tr></table>

E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.
"x Î A için, (x, x) Î b ise, b yansıyandır. (" : Her)

2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.
"(x, y) Î b için (y, x) Î b ise, b simetriktir. <table id="table4" border="0" width="87%"> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
b bağıntısı simetrik ise b = b^–1 dir.</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı 15_Kar3

dir.</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı 15_Kar4

dir.</td></tr></table>

3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir. <table id="table5" border="5" width="89%" height="75"> <tr> <td width="73%">
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.</td></tr></table>

4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,
b bağıntısının geçişme özeliği vardır. <table id="table6" border="5" width="89%" height="99"> <tr> <td width="73%">
Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır.</td></tr></table>

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.<table id="table7" border="0" width="95%"> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y) Î b ise x ve y elemanları b bağıntısına göre denktir denir ve x º y şeklinde yazılır.</td></tr> <tr> <td valign="top" width="8%" height="30">
Ü</td> <td width="90%" height="30">
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı 15_Kar5

şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi,
Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı 15_Kar6

</td></tr></table>

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.<table id="table8" border="5" width="89%" height="53"> <tr> <td width="73%">
Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir.</td></tr></table>